سؤال جميل وخفيف حاولو فيه

[ربيع]

اوجد ناتج مايلي


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{3}{1^2.2^2}+\frac{5}{2^2.3 ^2}+\frac{7}{3^2.4^2}+.....


انتظر ابداعاتكم

[همس]

محاولتي ^_^


الان الحد النوني للمتتابعة هو

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}

نحلل الحد النوني ولكن الى عاملين فقط ( الصحيح فكه لأربعة عوامل مختلفة ومن ثم سنكتشف ان 2 منها يساوي الصفر ولكن لاداعي للخطوة هنا حيث يمكن افتراض كل مجهولين بمجهول وانتهت المشكلة )

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{A} {n^2}+\frac{B}{(n+1)^2}

بجمع الكسرين ومساواة البسط بالبسط نصل الى

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\frac{1} {n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}

وبالتالي فان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{n ^2(n+1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^2}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\150dpi&space;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^2}=\left&space;(&space;1+\fr ac{1}{4}+\frac{1}{9}+...&space;\right&space;)-\left&space;(&space;\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...&space;\right&space;)=1

[ربيع]

برافوا همس حل جميل ومقنع
بتستاهلي هدية



http://files.fatakat.com/2009/12/1260185633.gif

والتحدي مازال قـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـــــائم