الزمرة والحلقة والحقل

[قاسم البدري]

بعد التحية والشكر الجزيل وددت التعرف على تعريف المواضيع اعلاه وكلي شكر وامتنان لكم

[أم مطهر]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته،،
يسرني بالفعل مشاركتكم إيانا و سأكون أكثر سروراً بمشاركة بقية الأعضاء..

تعريف الزمرة (G،*) :

نقول بأن G مجموعة و * عملية ثنائية تجميعية على G، عندما تخضع للقواعد التالية (أو ما يدعى بدهيات):

1. (G،*) تملك انغلاقا. إذا كان a و b ينتميان ل G، عندئذ يكون a*b من ضمن G أيضا.

2. العملية * تجميعية, أي أنه، إذا كان a, b, و c عناصر من G، عندئذ يكون (a*b)*c=a*(b*c).

3. G تحوي عنصر حيادي(محايد)، يرمز له غالبا ب e، أي أنه من أجل جميع قيم a من ضمن Gفإن :
e*a=a*e=a.

4. كل عنصر من الزمرة (G،*) له عنصر معاكس(نظير)؛ إذا كانت a من G، عندئذ يوجد عنصر b ضمن بحيث يحقق :
a*b=b*a=e.


تعريف الحلقة :
الحلقة هي مجموعة غير خالية R مزودة بعمليتين ثنائيتين الأولى رمزها + وتسمى الجمع addition والثانية تسمى الضرب (.) multiplication بحيث أن:

النظام http://www.mathramz.com/math/files/tex/608cc0e156324904a6dadf226ece574c.png زمرة (جمعية) إبدالية بمعنى أن:
1. لكل http://www.mathramz.com/math/files/tex/4cb9e70a7c0acf6b1d4a8283c3725aed.png فإن http://www.mathramz.com/math/files/tex/a42ec51b5efad071b1852320ee38bee1.png (عملية الجمع مغلقة)
2. لكل http://www.mathramz.com/math/files/tex/c1f840a8714cbe46f04e7cfe04119001.png فإن http://www.mathramz.com/math/files/tex/b16ef24541167dbbd7085c4a01aa73eb.png (عملية الجمع تجميعية)
3. يوجد http://www.mathramz.com/math/files/tex/0663fbcf9a1a531de472e8dfd9c63009.png ويسمى العنصر الصفري بحيث http://www.mathramz.com/math/files/tex/1264733a989490ba4324a6e695e36691.png (يوجد محايد لعملية الجمع)
4. لكل http://www.mathramz.com/math/files/tex/502055d86c88fa3a698ac7ff4646505a.png يوجد http://www.mathramz.com/math/files/tex/4ad45bd0c68aa6b0312c18c976af4b96.png بحيث http://www.mathramz.com/math/files/tex/85525c7810f32c3cc08e96eeb3c836cd.png (يوجد معكوس جمعي لكل عنصر)
5. لكل http://www.mathramz.com/math/files/tex/4cb9e70a7c0acf6b1d4a8283c3725aed.png فإن http://www.mathramz.com/math/files/tex/e22855954c9ceff0db8cafd138525704.png (عملية الجمع إبدالية)

النظام http://www.mathramz.com/math/files/tex/c91308911fe13417aa71b674af2a4cd6.png شبه زمرة بمعنى أن:
6. لكل http://www.mathramz.com/math/files/tex/4cb9e70a7c0acf6b1d4a8283c3725aed.png فإن http://www.mathramz.com/math/files/tex/4cb6bcf9795e5ffadbd457194a327334.png (عملية الضرب مغلقة)
7. لكل http://www.mathramz.com/math/files/tex/c1f840a8714cbe46f04e7cfe04119001.png فإن http://www.mathramz.com/math/files/tex/f26c309669324af1d3f0123f7e46da44.png (عملية الضرب تجميعية)

الضرب يتوزع على الجمع, بمعنى أن:
8. لكل http://www.mathramz.com/math/files/tex/c1f840a8714cbe46f04e7cfe04119001.png فإن http://www.mathramz.com/math/files/tex/9e3ef7a2507241403652f7b193ffe7a0.png ( الضرب يتوزع على الجمع من جهة اليسار)
9. لكل http://www.mathramz.com/math/files/tex/c1f840a8714cbe46f04e7cfe04119001.png فإن http://www.mathramz.com/math/files/tex/6a758b8bd3fe5c2985463ff1001514ae.png ( الضرب يتوزع على الجمع من جهة اليمين)
نشير للحلقة R بثلاثي مرتب فنقول الحلقة http://www.mathramz.com/math/files/tex/aea82d14af587d061c0f67b7de21e69e.png أو نقول الحلقة R اختصارا.

و لمزيد من التفاصيل اطلع على هذا الرابط: http://www.mathramz.com/math/ring_definition

تعريف الحقل:
نقول عن حلقة إبدالية F ذات محايد http://www.mathramz.com/math/files/tex/780dfb826bb9bb25e02a77396a04773a.png أنها حقل إذا كان لكل عنصر غير صفري فيها معكوس بالنسبة لعملية الضرب.

إذاً الحلقة http://www.mathramz.com/math/files/tex/dfd81068ee780d3af6f2093a41ac87a6.png حقل إذا وإذا فقط كان كلا النظامين http://www.mathramz.com/math/files/tex/f513959c0bba5ed0b9fdc0a59988093e.png , http://www.mathramz.com/math/files/tex/717e0ddaf6029dc59d7370392fc1ad2d.png زمرة إبدالية حيث http://www.mathramz.com/math/files/tex/69032a1b9955532b6b6b324bacd28de7.png مجموعة العناصر الغير صفرية في F.

و لمزيد من التفاصيل اطلع على هذا الرابط: http://www.mathramz.com/math/the_field

لكم جزيل الشكر و التقدير

[قاسم البدري]

شكرا جزيلا ان كان الشكر يفي بحكم فكلي امنتنان لجهودكم هذه

[أم مطهر]

شكرا جزيلا ان كان الشكر يفي بحكم فكلي امنتنان لجهودكم هذه

أهلاً و سهلاً بك مجدداً!
و نأمل أن نرى المزيد من مشاركاتكم و تفاعلكم.

أم مطهَّر

[قاسم البدري]

السلام عليكم اولا وبعد التحية الى السيدة ا مطهر فلدينا اليوم سؤال اخر ارجو منكم التوضيح مع الشكر الجزيل مسبقا السؤال هو مطلق س-1=1-س فما هي قيمة س

[أم مطهر]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته،،
شكراً جزيلاً لهذا التواصل الرائع :)
وأعتذر على التأخر في الإجابة عن السؤال..

في البداية نعيد تعريف الدالة |س-1|

و يتنج لنا س-1 عندما س >= 1
و 1- س عندما س<1

س - 1 = 1- س
2س -2 =0
س =1


مودتي:
أم مطهر

[Raw]

منقول من البحرين

[aym]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته،،
شكراً جزيلاً لهذا التواصل الرائع :)
وأعتذر على التأخر في الإجابة عن السؤال..

في البداية نعيد تعريف الدالة |س-1|

و يتنج لنا س-1 عندما س >= 1
و 1- س عندما س<1

س - 1 = 1- س
2س -2 =0
س =1