من يجيب العالمان: Cesaro و Sylvestre

[tarik_math]

قال العالم césaro و sylvestre : " نختار عشوائيا عددين من المجموعة N مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية، ماهو احتمال بأن يكونا هذين العددين أوليان فيما بينهما؟" نسمي عددان أوليان فيما بينهما كل عددين لا يحتويان على قاسم مشترك بينهما.:36_1_12:

[euler]

جاري التفكير
:sita1234:

[euler]

السلام عليكم

الجواب هو http://www.gnux.be/latex/data/469c597f805da6fa6fb01b8a1e677da0.png لكن البرهان طويل... ويحتاج إلى ترجمة.
إذا استطعت اختصاره وترجمته قد أنشره هنا (وهو برهان قديم لسيزارو نفسه).

[tarik_math]

رائع يا أستاذي الحبيب

[زهرة الرياضيات]

هل تستطيع المحاولة لأنه موضوع مثير للقراءة

[euler]

سلام
حبا وكرامة
سأحاول في أقرب فرصة ممكنة .

[Math Lover]

رائع

لكن ننتظر البرهان ..........

[euler]

بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله

نبدأ إن شاء الله البرهان المكون من مراحل
المرحلة الأولى : متطابقة Euler (طبعا !!!)
طبعا الكثيرون منكم يعرفون (أو على الأقل سمعوا عن) دالة زيتا لريمان :Zeta function
وهي معرفة كما يلي: http://www.gnux.be/latex/data/6d4eee6fac21fbd4df3faa5e7501cbc0.png
متطابقة اولير Euler:
http://www.gnux.be/latex/data/f04bf85974981ccfcbb61749778ca7a7.png حيث http://www.gnux.be/latex/data/1a13d972a2c8473f075ded6eca465169.png مجموعة الأعداد الأولية

لبرهان:
نذكر بأن : http://www.gnux.be/latex/data/e2e3d2da59e31aaba86a840384d2ae90.png
نضع : http://www.gnux.be/latex/data/dced1d8c2122ed81b6df658fcf3fc52a.png في هذه العلاقة فنجد: http://www.gnux.be/latex/data/c0b0d680ec2e1f621b47306e18ebf717.png.
نضع كذلك : http://www.gnux.be/latex/data/496ca8012d23853ff7e17f0226113b85.png مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية التي جميع قواسمها الأولية أصغر من أو تساوي q . ( مثلا : http://www.gnux.be/latex/data/36ed2a1edbd0cbc58f3da01be1787de6.png )
ليكن m من N نعتبر العدد الحقيقي : http://www.gnux.be/latex/data/4511910f3467adeda234c9cbce7f2b4a.png المعرف بما يلي:
http://www.gnux.be/latex/data/5985262f21b4b9aba2a7707e9ee783b5.png

[euler]

تتمة البرهان : أنظر الصورة المرفقة

[euler]

يبقى أن نبرهن على أن :
http://www.gnux.be/latex/data/4343ef13f0396fdf1857a741dee8c7fd.png
وهذا سيكون على شكل تمرين.( بطريقة واليس Wallis):
الجزء الأول:
نضع :
http://www.gnux.be/latex/data/c4e5110d29b284176a2a830fbc24591a.png

1- أحسب العددين : http://www.gnux.be/latex/data/aa9bd13a41e1e1d9db97ad8bd012f3d5.png
2- أحسب http://www.gnux.be/latex/data/0a22604c6270cafda16d1bee51963ab4.png بدلالة http://www.gnux.be/latex/data/f5f3b7d1c815b7d0c9863f7dca5c45d3.png من أجل http://www.gnux.be/latex/data/5d5f448f1528508f27683f57c3c34111.png.
3- استنتج قيم كل من http://www.gnux.be/latex/data/ba86961edb3ad2da01ad27adf1e08c80.png و http://www.gnux.be/latex/data/70e1775510e1cf0cdb8aa4a22a405feb.png .
4- أحسب النهاية :
http://www.gnux.be/latex/data/da59a8ab94306ff0aadf281cd889e6d4.png
5- استنتج :
http://www.gnux.be/latex/data/89b76ae11fe8f951a4e7b824c42cb383.png
الجزء الثاني:
نضع :
http://www.gnux.be/latex/data/dac02aa4ce26b7cfd0186340d44e127e.png و http://www.gnux.be/latex/data/1ca6c52bcf468e767cc94a737d9ea226.png
1- بين أن :
http://www.gnux.be/latex/data/881198535cbe042c93b46746ffe5debe.png
واستنتج أن Un تقبل نهاية نرمز لها بالرمز http://www.gnux.be/latex/data/195246810f9bfc228bca491859062b14.png
2- لكل http://www.gnux.be/latex/data/fe37f48a6bb040c06c5e7ccaac63bc66.png أكتب http://www.gnux.be/latex/data/51e30ff0f3ad7f4a08fb2aea5cbc037b.png بدلالة http://www.gnux.be/latex/data/44cf8cb4ac94092168a0190d43434ae0.png
3- استنتج أن :
http://www.gnux.be/latex/data/27c9c630c08958542f876e6f1028ad96.png
4- برهن على أن :
http://www.gnux.be/latex/data/4377ab06b72902411a0822aa7531b57c.png
واستنتج أن : http://www.gnux.be/latex/data/9178025c89c39d22a7e40d176fb73ec1.png.

















:emot151:

[Math Lover]

بارك الله فيك على المجهود الطيب..

[euler]

لا شكر على واجب وفي الحقيقة أعتذر عن التأخر الطويل في الجواب على هذا السؤال لكن الواقع أني مبتلى بالنسيان

وعلى العموم شكرا على التفاعل و(التذكير)

يبقى التمرين الذي قدمته ينتظر الحل... ويصلح أن يكون امتحانا .

:36_1_12:

[Math Lover]

بارك الله فيك و جزاك عنا كل خير