برهان أن.e عدد غير نسبي.

[ابو العبد1]

:36_1_4: هل يمكن المساعدة في برهان ان e عدد غير نسبي
وأيضا برهان π عدد غير نسبي

ولكم جزيل الشكر

[euler]

أخي أبو العبد مرحبا بك أولا في المنتدى وأعتذر عن التأخير لكن هذه الأيام أنا مشغول كثيرا
أعدك بإدراج برهان قريبا إن شاء الله

[tarik_math]

أنا طارق يمكنني فعل ذلك فإذا مازلت تريد البرهان عليهما فراسلني

[Raw]

أنا طارق يمكنني فعل ذلك فإذا مازلت تريد البرهان عليهما فراسلني

أخ طارق ..

ليس بالضرورة المراسلة ...

اكتب الحلّ هنا ليستفيد منه الجميع و ليفتح نقاش حوله إذا اقتضى الأمر ..

:emot112:

®

[tarik_math]

يا أخي Raw أتدري أني أحبك حبا في الله و أحترم فيك علمك ونشاطك سأكتب الحل ولكن هو في word فلا أعرف كيف أحوله إلى المنتدى فهلا علمتني كيف

[Raw]

يا أخي Raw أتدري أني أحبك حبا في الله و أحترم فيك علمك ونشاطك سأكتب الحل ولكن هو في word فلا أعرف كيف أحوله إلى المنتدى فهلا علمتني كيف

إمـّـا ضعه كملفّ مرفق أو التقط صورة له و ضعه كصورة مرفقة تعرض مباشرة أو أوجد طريقة ما لكتابته مباشرة لكن لا أظن أنّ هذا سهلاً لكثرة الرموز .. و على كل حال راجع موضوع المساعدة في كتابة الرموز في المنتدى في البوابة


®

[tarik_math]

أنا أحبذ أن أضعه كملف مرفق فكيف السبيل إلى ذلك؟

[tarik_math]

الفقرة الأولى:
Lemme 1 :

Considérons la fraction continue x, convergente et illimitée : http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem1
avec ai et bi entiers relatifs.
Si http://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIFaihttp://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIF<http://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIFbihttp://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIF à partir d'un certain rang, alors x est irrationnel.

[tarik_math]

الفقرة الثانية:
Démonstration :

Supposons que dès le rang i=1, on a http://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIFaihttp://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIF<http://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIFbihttp://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIF (ce qui n'enlève pas de généralités...)
Pour ihttp://www.pi314.net/mathematiciens/appartientN*, on a donc bi-1<bi+http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem2<bi+1 et donc puisque ai et bi sont des entiers séparés d'au moins une unité, on obtient : http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem3.
Le terme en plus http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem2 par rapport à l'hypothèse initiale est de valeur absolue inférieure à 1 donc ne peut faire changer le signe de la fraction (car bi est un entier).
Ceci nous indique que le signe n'a pas changé et donc, on en conclut que http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem4 est du signe de http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem5. Sa valeur absolue est de plus inférieure à 1 d'après l'inégalité ci-dessus.

De façon similaire, on obtient que http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem6 est du signe de http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem7 et de valeur absolue inférieure à 1.

Par récurrence descendante immédiate, on peut écrire finalement que x est du signe de http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem8,
et de module inférieur à 1 (http://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIFxhttp://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIFhttp://www.pi314.net/mathematiciens/lt1).

Pour http://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIFxhttp://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIF=1, le développement n'est pas intéressant à étudier car d'un type très particulier...
Supposons donc http://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIFxhttp://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIF<1 avec x rationnel :
http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem9
Comme dans l'étude précédente, p1 a les mêmes propriétés que x, c'est à dire http://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIFp1http://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIF<1 et donc, on en conclut http://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIFrhttp://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIF< http://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIFphttp://www.pi314.net/mathematiciens/abs.GIF.
Mézalors ! En itérant le procédé, on construit une suite infinie de fractions, leurs numérateurs étant des entiers de module strictement décroissant, ce qui est parfaitement absurde !
On conclut finalement à l'irrationalité de x.

[tarik_math]

الفقرة الثالثة:
Lemme 2 :

On a pour x tel que sa tangente soit définie : http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem10

Démonstration :

On utilise pour cela les développements de sin et cos :

http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem11

Si l'on écrit tan(x) sous la forme http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem12
et de même, on peut alors écrire : http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem13. En itérant le procédé, on construit ainsi : http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem14.

Par récurrence presque immédiate, on a par ailleurs

http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem15

Réciproquement, on doit vérifier (ce que je n'ai pas du tout envie de faire !) que la fraction obtenue converge effectivement vers tan(x). Le principe n'est pas exactement le même que celui exposé pour la démonstration de la fraction continue de Lord Brounker (http://www.pi314.net/brounker.php). Avec les notations de ce dernier site, dans notre cas, il faut montrer que les réduites Pn et Qn convergent uniformément respectivement vers sin(x) et cos(x).

Théorème de Lambert : http://www.pi314.net/mathematiciens/pimarron est irrationnel

Pour ce dernier résultat, je ne vais pas utiliser le traditionnel http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem16 considéré par Lambert. En effet je n'ai toujours pas compris comment ce résultat peut être exploité alors que l'on a exclu le cas x=1 dans la démonstration initiale (mais je dois être bête...).

Pour simplifier, on va donc prendre tan(http://www.pi314.net/mathematiciens/pimarron)=0, ce qu'a utilisé Legendre pour montrer que http://www.pi314.net/mathematiciens/pimarron2 était irrationnel.
En prenant x=http://www.pi314.net/mathematiciens/pimarron, on a alors http://www.pi314.net/mathematiciens/lambert/lambertDem17
Remarquons alors que (2k+1)>http://www.pi314.net/mathematiciens/pimarron2 dès k=5 et donc qu'en vertu du lemme 1, 3/http://www.pi314.net/mathematiciens/pimarron2 et donc http://www.pi314.net/mathematiciens/pimarron2 est irrationnel (c'est le théorème de Legendre). On a finalement également : http://www.pi314.net/mathematiciens/pimarron est irrationnel.

[euler]

مشكور أخونا طارق لكن معظم أعضاء المنتدى يحتاجون إلى ترجمة بالعربية وهذا الذي أخرني عن أن أجيب على هذا السؤال
وعلى كل حال مجهود طيب ونحن في انتظار المزيد حول e.

[tarik_math]

إذن سأرضيك أخي euler سأعمل جاهدا لترجمته بوسيلة جيدة