مساعدة في برهان نظرية

[تلسكوب]

مسا الخير

هل ممكن ان تساعدوني في برهان هالنظرية
اذا كان التابع R---> R
و لتكن العلاقتان :
(f(x+y)=f(x)+f(y
(f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y
الآن المطلوب برهن إذا تحقيقت إحدى العلاقتين فإن الأخرى محققة .

[حسام برهان]

بسم الله الرحمن الرحيم

فكرت في هذا الحل:

1 => 2
f(xy + x + y) = f((xy) + (x + y)) = f(xy) + f(x + y)
= f(xy) + f(x) + f(y)

2 => 1
we can write f(x+y) = f((x+y) + 0 + 0), from (2)
=> f((x+y) + 0 + 0) = f(x+y) + f(0) + f(0)
=> f(x+y) = f(x+y) +2f(0) => f(0)=0
now we have:
f(x+y)=f(x + y + 0) = f(x) + f(y) + f(0), but f(0)=0
=> f(x+y)=f(x)+f(y)

[محمد بادنجكي]

شكراً على التفاعل من الطرفين والله يعطيك ألف عافية أستاذ حسام عالبرهان ما عليه أي غبار
بس ياريت من الأخ تلسكوب يشرحلنا تطبيقات هالنظرية

[امل فلسطين]

السلام عليكم

الاستلزام الاول صحيح
لكن الاستلزام الثاني لم تستخدم الفرض حيدا ...في نظري....

انا اعتقد ان الحل هكذا
f(x+y)=f(0*0+x+y)= f(0*0)+ f(x)+ f(y) d'apres 2 ............(*)

or:
f(0*0+0+0)=f(0*0)+f(0)+f(0) d'apres2
alors:
f(0)=0
donc:(*) ............
f(x+y)=f(x)+f(y


و الله اعلم